Calentamiento del extremo de la barra
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El calentamiento en el extremo de la barra x=0,
se puede describir mediante un pulso periódico, de periodo P, en
forma de escalón de altura 2·T0, tal como se aprecia
en la figura. Esta función, se puede expresar en términos de un desarrollo en serie de Fourier, los detalles se pueden consultar en cualquier libro de Cálculo integral. |
Si f(t) es una función periódica de periodo P, se puede expresar en forma de desarrollo en serie de la forma.
donde
Para un escalón de potencial
f(t)=T0
para 0≤t<P/2
f(t)=-T0 para P/2≤t<P
Los coeficientes ai y bi de Fourier valen
El resultado de la integral es
El desarrollo en serie de la función escalón es
En la figura, se representa el calentamiento del extremo de la barra x=0, descrito por una función escalón de periodo P=80 s y cuya amplitud es de T0=10º C.
En la figura, se muestra la aproximación a la función escalón tomando los cinco primeros términos i=1, 3, 5, 7, y 9 del desarrollo en serie
En esta otra figura, la aproximación a la función periódica tomando los 50 primeros términos cuyos índices i son los números impares que van desde i=1 a 99.
Propagación de la onda térmica
La distribución de temperaturas en la barra después de un tiempo de haber comenzado el experimento, cuando el sistema haya olvidado las condiciones iniciales, está dada por una serie, cada uno de cuyos términos corresponde a una onda armónica de frecuencia angular ωi, número de onda ki y velocidad de propagación vi=ωi/ki.
Introduciendo esta solución en la ecuación que describe la conducción térmica
se obtiene
La igualdad a cero, conduce al sistema de dos ecuaciones diferenciales
Con la condición inicial en el extremo x=0 de la barra
Integramos la primera ecuación diferencial
con la condición inicial de que en x=0, Ai(0)=4·T0/(i·π). La solución es
Introduciendo Ai(x) en la segunda ecuación diferencial
La amplitud Ai(x) decrece exponencialmente con la distancia x a la fuente de calor de la forma
La distribución de temperaturas para cada punto x de la barra en función del tiempo t es
La amplitud Ai(x) decrece rápidamente con x y también con i. Los armónicos altos desaparecen, quedando lejos de la fuente tan solo el primer armónico i=1. La distribución de temperaturas para esos puntos se puede describir mediante la ecuación
La velocidad de propagación de las ondas térmicas en la barra de metal vale
Cuando la velocidad de propagación v depende de la frecuencia ω, el medio se dice que es dispersivo.
El cociente v/(2k)=α que es un parámetro característico de cada metal en el proceso de conducción térmica.
Medida del coeficiente k de amortiguamiento de la amplitud
Actividades
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Con el puntero del ratón se mueven las flechas de color rojo y de color azul a posiciones marcadas en cm en la regla. Las flechas representan termistores (termómetros) previamente calibrados. Las medidas de resistencia eléctrica se convierten en medidas precisas de temperatura, que se muestran en la parte superior del applet.
Se introduce
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El material del que está hecha la barra, en el control de selección titulado Metal.
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La amplitud T0 de la oscilación de la temperatura en el extremos de la barra x=0, actuando en la barra de desplazamiento titulada Amplitud temperatura.
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El periodo de la oscilación P en segundos, en el control de edición titulado Periodo.
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa, que durante medio periodo el extremo de la barra se calienta (color rojo) y durante el otro medio periodo se enfría (color azul). Encima del extremo de la barra aparece un reloj conectado a un dispositivo que calienta o enfría dicho extremo.
Las curvas en color rojo y azul corresponden a las oscilaciones de temperatura en las posiciones que ocupan la flecha roja y azul. Si la amplitud de las oscilaciones es pequeña, se puede aumentar la escala de la representación gráfica en el control de selección titulado Escala.
Las posiciones de las flechas (termistores) se elegirán de modo que las oscilaciones de temperatura en dichos lugares se describan aproximadamente mediante un MAS.
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Se mide la temperatura máxima o mínima A1 y A2, y se calcula el coeficiente k de amortiguamiento de la amplitud.
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Se mide la diferencia de tiempos Δt, que tarda el máximo o el mínimo en desplazarse desde la posición x1 a la posición x2, es decir, Δx=x2-x1
Ejemplo:
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El metal de la barra es cobre
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La amplitud de proceso de calentamiento-enfriamiento del extremo de la barra es T0=15º
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El periodo es P=80 s
Observamos que en las posiciones x1=15 cm y x2=25 cm las oscilaciones de temperatura se describen aproximadamente mediante un MAS.
Se elige la escala 10 de la representación gráfica, para realizar mejor las medidas.
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En la posición x1=15 cm se alcanza el mínimo de temperatura en el instante t1=15.0, la temperatura mínima es A1=1.201
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En la posición x2=25 cm se alcanza el mínimo de temperatura en el instante t2=39.5, la temperatura mínima es A2=0.176.
El coeficiente k de amortiguamiento de la amplitud de la onda térmica vale
La velocidad de propagación de las ondas térmicas en la barra de cobre es
Calculamos el cociente
Comprobación
Los datos para el cobre son
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Densidad ρ=8900 kg/m3
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Calor específico c=390 J/(kg·K)
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Conductividad térmica K=389.6 W/(m·K)
El valor de α=K/(ρ·c)=11.22·10-5 m2/s